Azatf12
9
All posts from Azatf12
  Azatf12 in Azatf12,

Платная работа. Задачи по теории игр. ГУ-ВШЭ

Добрый вечер! Коллеги! очень нужна Ваша помочь! Срочно нужно сделать эти задачи. до понедельника, максимум до вторника. Не можем найти кто это смог бы сделать меньше чем за 10-дневный срок. Готов заплатить. 

1.  Два игрока размещают точку на плоскости, выбирая ее координаты. Один выбирает абсциссу, другой - ординату. Полезности игроков заданы функциями:
, где
Ф – число букв в вашей фамилии, И -  число букв в вашем имени.
a)        Изобразите линии уровня полезностей игроков на плоскости (сделайте схематический рисунок, нанеся 3-4 линии уровня). Каковы предпочтения игроков – однопиковые (есть точка насыщения или неприятия, линии уровня - эллиптические) или ненасыщаемые?
b)        Найдите равновесие по Нэшу в этой игре.
 
Решение:   u1(x,y) =-x2+x(y+7)+y2;   u2(x,y)=-y2+y(x+5)+x2

2.Дерево игры  для двух игроков представлено на рисунке.  Первым делает ход игрок К, выбирая вверх (u) или вниз (d), затем ход переходит к игроку S, который выбирает между ходом влево (l) или вправо (r), затем ход опять у игрока К, а потом опять у игрока S.
     Взяв свои фамилию и имя, как бесконечные наборы символов (коковинкоков..) (сергейсерг…) задайте выигрыши игроков в терминальных вершинах дерева, как показано на рисунке, заменив буквы на их номера в алфавите («а»=1, «б»=2, …)
     а) Сколько стратегий у каждого из игроков?
    б) Найдите обратной индукцией совершенные подыгровые равновесия по Нэшу. Выпишите равновесные стратегии каждого игрока. (Будьте внимательны! Стратегия - это описание хода в каждом информационном множестве!)
     в) Представьте эту игру в нормальной (матричной) форме. Есть ли равновесия по Нэшу в чистых стратегиях? Есть ли среди них «нужные» равновесия?  А «лишние» равновесия?
 
 3.В этой игре И и Ф  - это число букв в ваших имени и фамилии.
Мама уходя, оставила детям (брату с сестрой) свежеиспеченный пирог P, наказав им поделить его между собой.
Дети обладают некоторой долей нетерпеливости (коэффициентами дисконтирования)- свежий пирог они любят больше, причем за каждый час ценность пирога с точки зрения брата уменьшается в И раз, а с точки зрения сестры – в Ф  раз
     Схема дележа такая - сперва старший брат предлагает сестре дележ: долю α1 себе, а оставшуюся (1- α1) сестре. Если сестра согласна, то они получают соответственно:  - брату и  – сестре, после чего игра заканчивается.
      Если сестра не согласна, то они целый час ссорятся (при этом ценность пирога для них уменьшается), а потом свое решение дележа пирога предлагает сестра: долю β1 себе, а брату -  (1- β1). Если брат согласен, то пирог в таком отношении и делится, при этом ценность его для брата составляет с учетом дисконтирования , а для сестры .
       Если же брат со схемой дележа не согласен, то дети опять целый час ссорятся (пирог продолжает терять свою ценность), а потом делить пирог опять берется брат, предлагая долю α2 себе, а (1- α2) сестре. Если сестра согласна, то они получают свои доли с учетом оставшейся ценности пирога: соответственно:  - брату и  – сестре, после чего игра заканчивается.
      Если сестра опять недовольна, то они опять целый час ссорятся, после чего второй раз предлагает  дележ пирога сестра: долю β2 себе, а брату -  (1- β2). Если брат согласен, то пирог в таком отношении и делится, при этом ценность его для брата составляет с учетом дисконтирования уже только , а для сестры .  Если брат соглашается с дележем, то игра заканчивается.
       Если же брат  не соглашается, то к тому моменту, когда они закончат ссорится возвращается мама, и обнаружив до сих пор неподеленный пирог съедает его целиком сама.
      а) Нарисуйте дерево игры
      б) В чем состоят стратегии игроков в этой игре? «Сколько» их у каждого? Сколько у каждого из игроков информационных множеств?
      в) Решите игру обратной индукцией. Кто оказался в выигрыше – брат или сестра? А какую полезность от пирога каждый получил? (Учтите, что после того, как исход игры ясен- нет смысла ее проводить до конца – решение достигается на первом же этапе!) А если бы первой делила сестра, то какие выигрыши были бы тогда?
      г) Можете ли вы сказать - как бы дети поделили пирог, если бы мама не вмешивалась в их спор, и они могли бы делить пирог до бесконечности (теоретически)?
 
 
  P.S. во второй задаче дерево игры не смог скопировать, но оно есть.