Никита Петров
2
All posts from Никита Петров
Никита Петров in Биржевые старости - ретроблог,

Как оставить казино в минусе

«Фондовый рынок – это казино», - фраза, которую часто приходится слышать от неудачливых трейдеров или тех, кто не имеет отношения к торговле ценными бумагами, но хочет продемонстрировать свою продвинутость. Собственно, казино можно назвать все – от трейдинга на Московской бирже до теоретической физики. При этом я знаю немало людей, которые успешны на фондовом рынке, и даже нескольких, которые более или менее стабильно выигрывают в азартных играх (нет, шулерами они не являются). Впрочем, все эти слова нужны были только для того, чтобы подвести вас к сегодняшней публикации. Она называется «Математика обмана: почему казино всегда в плюсе» и была обнаружена в журнале «Вокруг света».

Люди всегда хотели обыграть казино и придумали для этого массу стратегий. К сожалению, игроки не изучали центральную предельную теорему, закон больших чисел, теорию цепей Маркова и иные части теории вероятностей. Могли бы сэкономить много денег.

Никакого мошенничества, или Почему казино всегда в плюсе

Рулетка 

В рулетке прибыль заведения гарантирует секция зеро, а в американском варианте еще и дабл зеро. Колесо, или «вертушка», разделено на 37 ячеек, в 36 из них проставлены числа от 1 до 36, а в последней — зеро (в США ячеек 38, из которых две «нулевые»). Ставить можно на конкретные числа или группы чисел или на «равные шансы»: черное-красное и чет-нечет. Прибыль при выпадении чисел намного выше, чем при угадывании цвета или четности.

Не будь ячейки зеро, вероятность выигрыша для игрока, поставившего, скажем, на черное, была бы 18/36, или 50%. Но из-за еще одной ячейки она сокращается до 18/37. Другими словами, у заведения появляется «дополнительная» доля шанса на выигрыш — 1/37, то есть 2,7%. В американском варианте из-за второго зеро расхождение вдвое больше и составляет 5,4%. 

Когда человек ставит на конкретное число, игорный дом тоже остается в плюсе, несмотря на то что выигрыш вроде бы щедро выплачивается из расчета 35 к 1. Шансы игрока проиграть составляют 36 из 37, а шансы выиграть — только 1 из 37. То есть с каждого рубля, поставленного на конкретный номер, казино получит

или те же 2,7%. Это не означает, что игроки всегда в минусе, но шансов уйти с лишними деньгами у них намного меньше, чем проиграть имеющиеся. 

Кости, или крэпс 

Правила игры незамысловаты: игрок (шутер) кидает две кости, и, если сумма очков на них равна 7 или 11, он выигрывает, если 2, 3 или 12 — проигрывает. Когда на кубиках выпадает другая сумма, шутер бросает их до выигрышной или проигрышной комбинаций. Остальные участники делают ставки, пытаясь угадать, как лягут кости.

Казалось бы, все честно, ведь казино вообще напрямую не участвует в игре. Тем не менее игорный дом и тут остается в прибыли — размер ставок определен так, что участники получают выигрыш меньше «положенного», то есть рассчитанного по законам теории вероятностей. Например, шансы, что на кубиках выпадут комбинации 6+6 или 1+1, составляют

но ставка за них выдается из расчета 30 к 1. Если бы размер выигрыша был пропорционален вероятности, то размер куша вычислялся бы из расчета 35 к 1. Точно так же казино занижает выигрыши для других комбинаций, забирая себе разницу. 

«Однорукие бандиты»

Казино в первую очередь ассоциируется с рулеткой и покером, но, по статистике, 61% посетителей игорных домов проводят время, сражаясь с «однорукими бандитами» (данные Американской игорной ассоциации за 2013 год). Правила игры на автоматах предельно просты, а несерьезная минимальная ставка делает их доступными даже для самых бедных игроков.

Когда-то давно «бандиты» были механическими, и, дергая ручку, игрок спускал пружину, которая раскручивала барабаны с картинками. Сегодня колесики и шестеренки заменил компьютерный чип, а вишенки, лимоны или карточные номиналы отображаются на экране. Как и раньше, выигрышной считается комбинация из трех одинаковых картинок. 

Формально игровые автоматы работают честно и останавливают барабаны, подчиняясь командам от генератора случайных чисел. На деле каждый «бандит» запрограммирован возвращать игрокам определенный процент вложенных денег — обычно от 80 до 90%, хотя в казино Лас-Вегаса установлена доля до 98%. 

Противоречия здесь нет: момент остановки каждого барабана действительно определяется случайным числом. Но компьютер не использует выданное значение непосредственно. Вместо этого машина производит расчет по определенному алгоритму: умножает, делит и переводит с языка цифр на язык картинок по заранее составленным таблицам. И именно здесь закладывается процент выигрышных результатов: изменяя параметры таблицы, можно сделать «бандита» более или менее «щедрым». 

СТРАТЕГИИ ЧЕРТОВА КОЛЕСА

Попыткам обмануть фортуну не одна сотня лет. В Интернете можно бесплатно, а иногда и за немалые деньги познакомиться с десятками «стопроцентно выигрышных стратегий» игры в рулетку (почему-то игрокам кажется, что «взломать» проще всего именно колесо). Бороться с теорией вероятностей бесполезно, но люди упорно пытаются. 

Мартингейл НЕ РАБОТАЕТ 

Одна из самых старых стратегий игры в рулетку требует от игрока ставить на красное или черное (или чет-нечет) и удваивать ставку при проигрыше. Рано или поздно игрок угадывает и срывает банк. Схема кажется логичной, но в действительности суммарный выигрыш не превысит размера изначальной ставки. Пусть игрок ставит на черное и угадывает на шестом обороте (игроки говорят — спине). Тогда его баланс выглядит так:

На каждом шаге шансы угадать составляют

из-за зеро, поэтому при достаточно большом количестве спинов игрок оказывается в минусе. Кроме того, любителям мартингейла зачастую приходится делать много попыток и каждый раз удваивать расход. Если деньги закончатся раньше, чем «стратег» угадает, он потеряет огромную сумму. Наконец, владельцы казино прекрасно знают о мартингейле, и размер максимальной ставки во всех игорных домах ограничен. Поставив почти максимум и проиграв, человек лишается шанса вернуть деньги. 

Стратегия с позитивной прогрессией НЕ РАБОТАЕТ 

В отличие от любителей мартингейла и подобных ему схем, игроки, использующие так называемые стратегии с позитивной прогрессией, повышают ставки после выигрыша и чаще всего понижают после проигрыша. Схемы с позитивной стратегией не дают быстро проиграться, но обогатиться с их помощью тоже не получится, потому что у казино всегда больше шансов, какие бы ставки ни делал игрок. Баланс при использовании таких стратегий выглядит примерно следующим образом:

Любимый номер НЕ РАБОТАЕТ

Игрок все время ставит на один и тот же номер, надеясь, что выигрыш в размере 35 к 1 покроет его расход. «Стратеги» не учитывают, что номера выпадают равномерно только при бесконечно большом количестве оборотов. А в реальной игре с высокой вероятностью за 36 спинов выбранный номер не сыграет ни разу — просто потому, что какой-нибудь другой номер выпадет дважды (кстати, именно на этом факте основана система Биарриц, тоже весьма популярная у посетителей казино). Если бы любители 36 раз подряд ставить на одно и то же число провели несложный расчет, они бы стали более прижимистыми. 

Обозначим вероятность того, что за 36 спинов номера ни разу не совпадут, как

Выберем любой номер в качестве любимого и будем «сверять» его с выпадающими числами. Вероятность того, что любой следующий спин даст непарный номер, равна

(так как есть еще зеро, в знаменателе дроби будет не 36, а 37). Вероятность, что любой из последующих оборотов опять не даст пары, составляет

дальше

и так далее. Чтобы узнать, с какой вероятностью все номера за 36 спинов будут различными, нужно перемножить все эти вероятности. В общем виде формула выглядит так:

где ! — факториал (m! — это перемножение всех чисел от 1 до m), n — число поворотов колеса.

За счет огромного знаменателя получится настолько маленькое число, что на экране обычного калькулятора не хватит места, чтобы его показать. Например, для 36 спинов знаменатель дроби равен 285273917723723876056171083405292782327767461712708093041, а само значение составляет 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000003505. То есть шансов, что за 36 спинов номера ни разу не повторятся, практически нет. Вероятность, что за любое выбранное количество оборотов мы получим хотя бы одну пару, равна

Если подсчитать этот параметр для конкретного количества спинов, то при четырех оборотах колеса шансы на минимум одну «двойню» составят 15%, при 7 оборотах — 45%, а при 18 — уже 99,3%! 

Система Биарриц НЕ РАБОТАЕТ 

Схема основана на том факте, что за 36 раундов игры в рулетку некоторые числа, скорее всего, выпадут два и более раз. В классическом варианте схемы игроки некоторое время наблюдают за колесом, не делая ставок. Обнаружив повторяющиеся номера, они начинают последовательно ставить именно на них или, наоборот, не ставят фишки на эти числа.

Математических оснований у системы Биарриц нет: вероятность, что шарик остановится на определенном номере, никак не зависит от того, попадал ли он на него на предыдущих спинах. Но интуитивно люди связывают будущие исходы с уже случившимися («в одно дерево молния дважды не попадает»), поэтому схема по-прежнему популярна. 

ИГРОВОЙ АВТОМАТ 

Серия неудач НЕ РАБОТАЕТ 

Идея похожа на идею стратегии Биарриц: шанс на выигрыш особенно высок после длинной серии неудач. Подсознательно человеку кажется, что нельзя все время проигрывать и после черной полосы он непременно сорвет банк. Создатели автоматов подстегивают эту надежду: «бандиты» запрограммированы с повышенной частотой выдавать выигрышные комбинации на уровень выше или ниже основной строки. Игрок видит, что барабан «чуть-чуть не докрутился», и снова и снова бросает жетоны в монетоприемник.

Несовершенство колеса РАБОТАЕТ 

Если рулеточное колесо работает идеально, шансы на выигрыш у казино всегда выше. Но в реальной жизни идеальное встречается редко, и в случае рулетки на этом можно заработать. Что и сделал в 1837 году английский инженер Джозеф Джаггер. Он наблюдал за колесами в Монте-Карло и обнаружил, что одно уравновешено неидеально. Девять чисел — 7, 8, 9, 17, 18, 19, 22, 28, 29 — выпадали чаще остальных. 

Джаггер начал ставить на «залипающие» номера и за четыре дня выиграл 370 000 долларов. Владельцы сообразили, в чем дело, и поменяли колеса местами, но инженер раскусил подвох. Тогда хозяева стали по ночам переставлять ячейки, и выигрышными каждый день оказывались другие числа. Джаггер прервал карьеру игрока и уехал из Монте-Карло с 325 000 долларов — 5 млн долларов по нынешним деньгам. 

Есть данные, что еще нескольким людям удалось найти несовершенные колеса при помощи статистического анализа. Сегодня выискивать недостатки колес в открытую невозможно — в казино не жалуют таких «исследователей». 

Точный расчет РАБОТАЕТ

Этот метод предлагает угадывать, в какой ячейке окажется шарик, основываясь не на теории вероятностей, а на законах физики. При помощи нехитрого оборудования можно установить скорость шарика и скорость вращения колеса, непосредственно измерив их. Сопоставив эти значения, легко вычислить, когда и где остановится шарик. В 2004 году трое игроков, вооруженные лазерным сканером, компьютером и мобильными телефонами, выиграли в казино Ritz в Лондоне 1,3 млн фунтов. Игорный дом подал иск против счастливчиков, но суд решил, что ответчики не влияли на движение шарика и колеса, а значит, выигрыш законен. 

СТРАННОСТИ 

Обидные совпадения 

Любители лотерей тоже часто недооценивают мощь теории вероятностей. В сентябре 2009 года в розыгрыше национальной лотереи Болгарии выпали числа 4, 15, 23, 24, 35 и 42. Через четыре дня эти шесть чисел выпали вновь. Организаторов лотереи заподозрили в мошенничестве, было проведено расследование, установившее, что все честно. Подсчет показывает, что вероятность повторения шестерки чисел в Болгарской лотерее, которая проводится уже 52 года дважды в неделю, очень высока.

Результат каждого розыгрыша может совпасть с результатом любого из проводившихся ранее. Количество пар «шестерок», которые можно составить из всех розыгрышей, вычисляется по формуле:

где n — это число розыгрышей. Из двух розыгрышей можно составить только одну пару, из трех — 3, из четырех — 6, из пяти — 10, а из ста — уже 4950. При таком количестве сочетаний (возможных пар) вероятность, что какие-то из них окажутся одинаковыми, существенна. Чтобы она превысила 50%, достаточно провести 4404 розыгрыша — в случае Болгарской лотереи, на это потребуется меньше 43 лет. Совпадение розыгрышей в лотереях — не такая уж редкость. Например, в 2010-м в ходе двух тиражей национальной лотереи Израиля: 21 сентября и 16 октября —выигрышными были одни и те же числа.