farique
12
All posts from farique
farique in :: farique ::,

Математическое обоснование диверсификации.

Относительно недавно повторял теорию вероятности и наткнулся на, так называемый, "биржевой парадокс". Решил поделиться.
Вырезал из книги «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами», А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. Под редакцией А. И. Кибзуна. Москва, 2002, Физмат Лит.

Биржевой парадокс. Рассмотрим любопытный экономи­ческий пример. Пусть имеется начальный капитал К, который тре­буется увеличить. Для этого имеются две возможности: вкладывать деньги в надежный банк и покупать на бирже акции некоторой компании. Пусть и — доля капитала, вкладываемая в банк, а v — доля капитала, расходуемая на приобретение акций. Очевидно, что 0 ≤ u+v ≤ 1. Предположим, банк гарантирует b х 100% > 0 годовых, а акции приносят X х 100% годовых. Так как предполагается, что банк абсолютно надежен, то b является неслучайной величиной. Сто­имость акций, как правило, меняется в течение года, т. е. X является случайной величиной. Допустим, что приобретение акций в среднем более прибыльно, чем вложение средств в банк, т. е. тX = М[Х] >  b > 0. Но при этом имеется ненулевая вероятность того, что акции обесценятся и мы потеряем все деньги, вложенные в акции, Р{Х ≤ -1} =  > 0.
Таким образом, мы можем надеяться, что через год капитал составит величину К1=К(1+bu+Xv), которая является случайной. Рассмотрим также ожидаемое через год среднее значение капитала:

Поставим задачу распределить капитал таким образом, чтобы макси­мизировать средний доход за год:

Нетрудно найти решение этой простой задачи линейного програм­мирования. Так как по условию задачи тX > b > 0, то, очевидно, все деньги нужно вкладывать в акции, которые в среднем более прибыльны, чем вложение в банк, т. е. u0 = 0, v0 = 1. При такой стратегии среднее значение капитала через год будет максимально:

Выясним, к чему приведет такая стратегия управления капиталом, если применять ее многократно. Пусть Xi, i = , — ежегодный прирост капитала за счет приобретения акций. Предположим, что СВ Xi, i = , независимы. Пусть ui = 0, vi, = 1, i = , т. е. ежегодно покупаются только акции, которые в среднем более прибыльны, чем вложение в банк, М[Хi] = тX > b > 0. Тогда среднее значение капитала через п лет составит величину

Так как по предположению mX > 0, то 1 + mX > 1. Поэтому при п →∞ получаем Кп →∞. Образно говоря, при таком управлении капиталом можно стать неограниченно богатым «в среднем».
Посмотрим, что происходит с вероятностью нашего разорения при выбранной стратегии

где событие Ai  {Xi :1 + Xi ≤ 0} характеризует разорение в i-й год, а событие Вп  А + ... + Ап — возможность разорения хотя бы один раз за п лет.
Рассмотрим противоположное событие . Находим

Так как СВ Xi независимы, то независимы также события Ai, i = . Поэтому имеем

Но по предположению Р(Аi) = Р{Хi ≤  -1} =  > 0, т. е. с ненулевой вероятностью можно потерять весь капитал в каждый i -й год. Поэтому. Отсюда следует, что

А следовательно, , при п →∞, т. е. веро­ятность разорения при выбранной стратегии стремится к единице. И это несмотря на то, что средний доход стремится к бесконечности. В этом и состоит биржевой парадокс, к которому мы пришли, решив покупать лишь одни акции, пренебрегая возможностью получения в банке хоть и небольшой, но зато гарантированной, прибыли. Это значит, что не следует «складывать все яйца в одну корзину».
На практике, чтобы избежать этого парадокса, используют так называемую логарифмическую стратегию, которая определяется из следующего условия:

т. e. из условия максимизации средней скорости роста капитала. В частности, иногда предполагают, что СВ Y1 + X имеет логнор­мальное распределение . При логарифмической стратегии капитал распределяется, как правило, в некоторых пропор­циях между покупкой акций и вложением в банк.
Следует также отметить, что рассмотренный пример хорошо иллюстрирует особенность поведения случайной последовательности

при п →∞. В отличие от детерминированной последовательности случайная последовательность может сходится в разных смыслах и к разным значениям. В данном примере если ui > 0 и vi= 1, то Zn в среднем и в то же время Zn 0 по вероятности.