Николай _
27
All posts from Николай _
Николай _ in Mikola – последний из комонян,

Фрактальная размерность синусоиды

Можно ли представить движение цены набором двух или более синусоид? Иногда кажется, что можно, ведь подобрав некоторое количество синусов с нужными периодами, действительно, можно получить картинку очень похожую на график цены. И это, ведь, было бы очень здорово! Синусоида гладкая функция, поэтому на таком графике всегда можно найти участки, где цена начинала бы вести себя монотонно. Это значит, что если на исходном графике много максимумов и минимумов, расположенных в кажущемся случайном порядке, то мы всегда можем выделить маленький кусочек графика, где максимумов и минимумов нет и цена либо растет несколько точек подряд, либо падает. При этом выполняется еще одно замечательное свойство синусоиды: по значению производной (т.е. разности между текущим и предыдущем значением цены) мы точно можем сказать, что будет с ценой в следующей точке. Если разность стала равной нулю, то мы находимся точно в новом максимуме или минимуме. Что еще нужно спекулянту?

 

Увы… Рынок устроен вовсе не как набор синусоид (как утверждают некоторые критики фрактальной концепции, допускающие арифметические ошибки при взятии экспонент). Если мы возьмем график цены и попытаемся выделить в нем небольшие участки цены, то обнаружим, что эти маленькие участки устроены по образцу графика в целом – на нем будет много-много маленьких изломов, что постоянно будет мешать нам рассчитать производную и определить точный момент интересующего нас максимума или минимума.

 

Это свойство цен широко известно. Если уж цены и похожи на набор синусоид, то на очень специфический набор. Кстати, такой набор тоже известен, как пример фрактальной функции и называется функцией Вейерштрасса, которая представляет из себя бесконечную сумму синусов. Ее особенность такая же, как и у рынка – ни в одной точке невозможно посчитать производную.

 

Как же быть с функциями типа Вейерштрасса, на которую очень похожи цены на рынке? К счастью, в анализе для них есть аналог производной для синусоиды. Он называется обобщенной производной или показателем Гёльдера. А численным аналогом этого показателя является фрактальная размерность графика такой функции.

 

Ни показатель Гельдера, ни фрактальная размерность не сводимы к более простым арифметическим величинам, характеризующим геометрические свойства функции, как это хочет доказать nikolz. Связи, либо не существует вообще, либо она оказывается существенно нелинейной, сложной и не допускает понятной интерпретации.

 

А фрактальная размерность допускает, что позволяет делать некоторые прогнозы о дальнейшем поведения ряда. Кроме статистической интерпретации (на языке трендов, флэтов и случайного блуждания), о которой я уже говорил многократно и повторяться в очередной раз не хочу, можно дать интерпретацию на языке оценки информации участниками рынка.

 

В состоянии тренда (при значении фрактальной размерности D<1.5) на рынке существует новая информация, еще не включенная в текущую цену, которую участники рынка склонны оценивать в среднем одинаково (положительно при растущих трендах и отрицательно на падающих трендах)

 

В состоянии случайного блуждания (при D~1.5) информация неоднозначна и количество участников рынка оценивающих ее положительно примерно равно количеству участников рынка, оценивающих ее отрицательно. В результате цена дергается случайным образом в разные стороны.

 

В состоянии флэта (при D>1.5) существенная информация уже включена в текущие цены, а новая информация, способная существенно изменить представления участников рынка о ценах отсутствует. Рынок находится в ожидании существенных новостей, что выражается в топтании цен в узком диапазоне. Можно так же сказать, что флэты, это локальные состояния равновесия на рынке, приводящие цены в соответствие имеющейся на текущий момент информации.

 

Как использовать данную интерпретацию и численное значение фрактальной размерности для прогноза и торговли?

Существенно важным моментом в данной интерпретации, отличающим ее от классической гипотезы эффективного рынка, является предположение о том, что информация на рынке распространяется и перерабатывается участниками рынка не мгновенно. Этот процесс занимает некоторое время. Вышедшую новость требуется сначала получить, потом оценить, потом принять решение о действии или не действии и потом реализовать это решение. Каждое звено этой цепочки, очевидно, не мгновенно и у каждого участника рынка занимает определенное время. Это довольно очевидное свойство можно назвать «ценовой инерцией». Если мы обнаружили начало тренда с помощью фрактальной размерности, то в силу инерции действий участников рынка в обработке информации и принятии решений этот тренд будет продолжаться еще некоторое время. А именно до тех пор, пока информация не будет полностью «переработана» торговцами и включена в цены с помощью исполнения сделок (решения о которых приняты на основе этой информации).

 

Статистически это свойство можно подтвердить следующим образом. Выделим в ряде цен участки, например длительностью в неделю, на которых цены росли (недели для которых закрытие больше открытия). Рассчитаем фрактальную размерность каждого участка. Введем две величины:

 

Приращение средней цены следующего интервала (следующей недели) к закрытию текущей недели: 0.25*(H(i+1)+L(i+1)+O(i+1)+C(i+1))/C(i)-1

 

Вероятность того, что максимум следующего интервала (недели) будет выше максимума текущего интервала (недели).

 

Построим по всем интервалам усредненные зависимости двух этих величин от фрактальной размерности, рассчитанной для текущего интервала. Наша цель понять, что происходит с будущими ценами в зависимости от текущего значения фрактальной размерности.

 

В большинстве случаев мы будем получать графики, похожие на график, который я получил для дневного ряда цен индекса ММВБ с 2002 по 2010 год:



Как видно в среднем при низких значениях размерности (в состоянии тренда или переработки участниками рынка новой положительной информации) вероятность преодолеть предыдущий максимум повышается, а средняя цена следующего торгового диапазона смещается вверх по отношению к цене закрытия текущего диапазона. При увеличении размерности (переходу ситуации к флэту или блужданию) вероятность роста уменьшается и цены следующего интервала приближаются к цене закрытия текущего.

 

Это свойство я использую в своих еженедельных обзорах.

 

Фраза «имеются устойчивые сигналы на преодоление максимумов» означает, что в перечисленных бумагах наблюдается ситуация растущего тренда, которая продолжится с некоторой вероятностью и скорее всего максимумы прошлой недели будут преодолены, а средняя цена следующей недели будет выше закрытия текущей.

 

Аналогично, наличие сигналов на достижение новых минимумов означает наличие в перечисленных бумагах нисходящего тренда, который вероятно продолжится с пробоем минимума прошедшей недели.

 

Фраза «сигнал на увеличение волатильности» означает, что акция уже достаточно долго находится в состоянии флэта и значение фрактальной размерности велико. В таком состоянии выход новостей обычно провоцирует резкие движения цены, связанные с переработкой вышедшей информации, и быстрый выход цен за границы торгового диапазона прошлой недели. К сожалению, прогнозировать направление выхода крайне сложно, поскольку оно зависит от окраски (положительной или отрицательной) вышедшей новости, а это величина во многом случайная. Поэтому использовать эти сигналы можно либо на опционных стратегиях (в частности покупки волатильности), либо используя направление пробоя диапазона (в какую сторону цена начинает выходить из диапазона в то сторону, скорее всего, и пойдет дальше).



P.S. Кстати, честно посчтитанная фрактальная размерность синусоиды (или суммы синусоид) будет всегда равна единице. :)